题目内容
已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ)时,单调递增区间为;时,单调递减区间为,
单调递增区间为;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析
解析试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数的单调性,根据和分类讨论得出函数的单调区间;(Ⅱ)先由(Ⅰ)中时的单调性可知,即,构造函数,由导函数分析可得在上增,在上递减,则,由对任意的恒成立,故,得;(Ⅲ)先由(Ⅱ),即,从而问题等价转化为证.
试题解析:(Ⅰ) 1分
时,,在上单调递增。 2分
时,时,,单调递减,
时,,单调递增. 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ),时,
5分
即,记
在上增,在上递减
故,得 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ),即,则时,
要证原不等式成立,只需证:,即证:
下证 ① 9分
①中令,各式相加,得
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