Question

设是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调递增区间；
（2）设,若存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），；（2）.

试题分析：（1）先求函数的导函数，根据极值点的导数值为0，可得与的关系式；再令导函数大于0解不等式得单调递增区间；（2）先根据导数分别求函数在区间上的最值，代入或解不等式可得解.
试题解析：(1),,
,;  (3分)
, 令,即
解得:,所以的单调递增区间是:；        (6分)
(2)由（1）可得,函数在上单调递增,在上单调递减,
,且
函数在的值域为,  (8分)
又
在上单调递增,故
在的值域为,    (10分)
若存在使得成立，
等价于或，  (13分)
又,
于是: ,解得: ;     (15分)
所以实数的取值范围是:             (17分)