题目内容

某同学在研究函数f（x）=
x2+1
+
x2-6x+10
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=
(x-0)2+(0-1)2
+
(x-3)2+[0-(-1)]2
，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），下列关于函数f（x）的描述正确的是
②③
②③
．（填上所有正确结论的序号）
①f（x）的图象是中心对称图形； 
②f（x）的图象是轴对称图形；
③函数f（x）的值域为[
13
，+∞）；
④方程f[f（x）]=1+
10
有两个解．
分析：①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．
解答：解：①因为f（-x）=
x2+1
+
x2+6x+10
≠-f(x)，所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．
②因为f(
3
2
-x)=
(
3
2
-x)2+1
+
(
3
2
-x-3)2+1
=
(x-
3
2
)2+1
+
(x+
3
2
)2+1
，
f(
3
2
+x)=
(
3
2
+x)2+1
+
(
3
2
+x-3)2+1
=
(x-
3
2
)2+1
+
(x+
3
2
)2+1
，所以f(
3
2
+x)=f(
3
2
-x)，即函数关于x=
3
2
对称，所以②正确．
③由题意值f（x）≥|AB|，而|AB|=
32+(-1-1)2
=
9+4
=
13
，所以f（x）≥
13
，即函数f（x）的值域为[
13
，+∞），正确．
④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+
10
，等价为f（t）=1+
10
，即
t2+1
+
(t-3)2+1
=1+
10
，所以t=0，或t=3．
因为函数f（x）≥
13
，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．
故答案为：②③
点评：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．
练习册系列答案
相关题目
某同学在研究函数f（x）=
x1+|x|
（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有
 
．
某同学在研究函数 f （x）=
x1+|x|
（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；
④方程f（x）-x=0有三个实数根．
其中正确结论的序号有
①②③
①②③
．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
某同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立，
上述结论中所有正确的结论是（　　）
某同学在研究函数f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)时，分别得出如下几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-2，2）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数y（x）=f（x）-2x在R上有三个零点．
其中正确的序号有
①②③
①②③
．
（2009•上海模拟）某同学在研究函数f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；
②若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有
①②
①②
．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

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