题目内容
某同学在研究函数f(x)=
（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
对任意n∈N*恒成立，
上述结论中所有正确的结论是（ ）
| x |
| 1+|x| |
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
| x |
| 1+n|x| |
上述结论中所有正确的结论是（ ）
分析：根据题意，以此分析命题：①函数f（x）的值域为（-1，1），可由绝对值不等式的性质证明得；②可从反面考虑，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），可根据函数的解析式判断出其是一个增函数，；③与②的判断方法一样；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．
解答：解：①|x|＜1+|x|，故
∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数f(x)=
是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=
=1-
，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=
（x∈R）是一个增函数，故若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），
从而有若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；
此命题正确；
③由②已证f（x）在（-∞，0）上是增函数，故此命题不正确；
④当n=1，f1（x）=f（x）=
，f2(x)=
=
，
假设n=k时，fk(x)=
成立，则n=k+1时，fk+1(x)=
=
成立，
由数学归纳法知，此命题正确．
故选D．
| x |
| 1+|x| |
②函数f(x)=
| x |
| 1+|x| |
| x |
| 1+x |
| 1 |
| 1+x |
| x |
| 1+|x| |
从而有若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；
此命题正确；
③由②已证f（x）在（-∞，0）上是增函数，故此命题不正确；
④当n=1，f1（x）=f（x）=
| x |
| 1+|x| |
| ||
1+
|
| x |
| 1+2|x| |
假设n=k时，fk(x)=
| x |
| 1+k|x| |
| ||
1+
|
| x |
| 1+(k+1)|x| |
由数学归纳法知，此命题正确．
故选D．
点评：本题考查带绝对值的函数，函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．
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