Question

设F₁、F₂分别为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F₁F₂为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  21

  3

• B、

  19

  3

• C、

  2

  3

• D、

  7 3

  3

Answer 1

分析：先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

解答：解：不妨设圆与y=

b

a

x相交且点M的坐标为（x₀，y₀）（x₀＞0），则N点的坐标为（-x₀，-y₀），
联立y₀=

b

a

x₀，x02+y02=c2得M（a，b），N（-a，-b），
又A（-a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c²=（a+a）²+b²+b²-2

(a+a)2+b2

•bcos 120°，
化简得7a²=3c²，求得e=

21

3

．
故选A．

点评：本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．