Question

设F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以线段F₁F₂为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF₁B=120°，若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间，则k=（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据以线段F₁F₂为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF₁B=120°，可得△OF₁A是等边三角形，再利用双曲线的定义，即可求得离心率，从而可得结论．

解答：解：∵以线段F₁F₂为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF₁B=120°，
∴△OF₁A是等边三角形
∴|AF₁|=c，|AF2|=

3

c，
∴2a=|AF2|-|AF1|=(

3

-1)c，
∴e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1
∵双曲线的离心率介于整数k与k+1之间
∴k=2
故选B．

点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，属于中档题