题目内容

如图，已知A、B为椭圆

=1(a＞b＞0)和双曲线

=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且

=λ

(λ∈R，λ＞1)．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：k1•k2=

；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

分析：（1）设P（x₁，y₁），则k₁•k₂=

x1+a

•

x1-a

y12

x12-a2

，再利用点P（x₁，y₁）在双曲线

=1上，从而可证k1•k2=

；
（2）先计算k₁+k₂=

x1+a

x1-a

2x1y1

x12-a2

2b2

•

，设Q（x₂，y₂）同理可得k₃+k₄=-

2b2

•

，

与

共线⇒

，从而可求得k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）由（2）可求得∴（k₁+k₂）²=4

•

x12

y12

，（k₃+k₄）²=4

•

x22

y22

，PF₁∥QF₂⇒|OF₁|=λ|OF₂|⇒λ²=

a2+b2

a2-b2

⇒

x12

y12

，从而得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4；问题即可解决．

解答：（1）证明：设P（x₁，y₁），k₁•k₂=

x1+a

•

x1-a

y12

x12-a2

，且

x12

y12

=1，
∴x₁²-a²=

•y₁²，
∴k1•k2=

；
（2）解：∵k₁+k₂=

x1+a

x1-a

2x1 y1

x12-a2

2x1y1

• y12

2b2

•

，
设Q（x₂，y₂），同理可得k₃+k₄=-

2b2

•

，
又

与

共线，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴

，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=

2b2

（

）=0；
（3）解：∵

=λ

(λ∈R，λ＞1)，
∴

x2=

y2=

，又

x22

y22

=1，
∴

x12

y12

=λ2，又

x12

y12

=1，
∴

x12=

λ2+1

y12=

λ2-1

，
又∵若PF₁∥QF₂，
∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=

a2+b2

a2-b2

，
∴

x12

y12

λ2+1

λ2-1

•

，
∴（k₁+k₂）²=4

•

x12

y12

•

=4；
同理（k₃+k₄）²=4；
又k1•k2=

，k3•k4=-

，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．

点评：本题考查圆锥曲线的综合，着重考查整体代换与方程思想，培养学生综合分析问题、解决问题的能力，属于难题．

练习册系列答案

相关题目

（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C₁：

=1与双曲线C₂：9x2-

9y2

=1有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=

4x (0≤x≤3)

-12(x-4) (3＜x≤4)

．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

）与第（1）小题椭圆弧E₂：

=1（

≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求

的取值范围．

如图，F₁，F₂为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=

，S△DEF2=1-

．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（

，

）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为

的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①f(

)=6；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(

，0)对称；⑤函数f(m)=3

时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）

如图，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴

长的2倍，且经过点M. 平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭

圆C于A、B两个不同点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求的取值范围；

（3）求证：直线MA、MB与

轴始终围成一个等腰三角形.

（1）设椭圆C₁： $数学公式$ 与双曲线C₂： $数学公式$ 有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为 $数学公式$ ．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0 $数学公式$ ）与第（1）小题椭圆弧E₂： $数学公式$ （ $数学公式$ ）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求 $数学公式$ 的取值范围．

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