Question

13．已知B（-2，0），C（2，0），△ABC的内切圆切BC于D点，且|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，则顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1（x＞\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由图可知∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，即点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），则顶点A的轨迹方程可求．

解答 解：如图，
设E、F分别为圆与AB、AC的两个切点，
则|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，
又|AE|=|AF|，
∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），
且a=$\sqrt{2}$，c=2，
∴b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$，
∴方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1（x＞\sqrt{2}）$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1（x＞\sqrt{2}）$．

点评 本题考查双曲线的定义，考查了平面几何知识在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．