题目内容

已知圆C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R），有以下命题：
①E=-4，F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件；
②若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），则0≤F≤1；
③若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），O为坐标原点，则| $数学公式$ |的最大值为2；
④若E=2F，则曲线C表示圆，且该圆面积的最大值为 $数学公式$ ．
其中所有正确命题的序号是________．

①③
分析：对于①把E和F代入整理后，判断是否表示一个圆，反之利用表示圆的条件即D²+E²-4F＞0进行验证；对于②③把y=0代入方程化简为一个关于x的二次方程，根据△的符号和韦达定理，进行求解；对于④用F表示出圆的半径平方，利用配方法化简解析式，求出最值进行判断．
解答：①、圆C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R）中，应有 4+E²-4F＞0，当E=-4，F=4时，
满足 4+E²-4F＞0，曲线C表示圆，但曲线C表示圆时，E不一定等于-4，F不一定等于4，故①正确．
②、若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），
则 x₁、x₂ 是x²+2x+F=0的两根，△=4-4F＞0，解得F＜0，故 ②不正确．
③、若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），
∴| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，
故当A点坐标为（-2，0）点，B点坐标为（0，0）
此时| $\text{[math]}$ |取最大值2，故③正确；
④、由于E=2F，则圆的半径的平方为 $\text{[math]}$ （4+E²-4F）= $\text{[math]}$ （4+4F²-4F）=（F-1）²+ $\text{[math]}$ ，
则圆面积由最小值，无最大值，故④不对．
故答案为：①③．
点评：本题考查了二元二次方程表示圆的条件，直线与圆相交时利用判别式的符号以及韦达定理，还有利用配方法求出圆的半径的最值，考查知识多，难度大．