Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可解得A的值．
（Ⅱ）由b=2c及余弦定理可求得cosA=$\frac{1}{2}$，解得c，b，由三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 由（2b-c）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，…（4分）
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，因为0＜A＜π，
所以解得：A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ） 因为b=2c．所以cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-9}{4{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得c=$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$．…（10分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．