题目内容
【题目】已知点,点
在圆
上运动,
为线段
的中点,则使△
(
为坐标原点)为直角三角形的点
的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
设M(x,y),P(a,b),由于M是AP的中点,点B(6,0),故可由中点坐标公式得到a=2x﹣6,b=2y,又P(a,b)为圆x2+y2=1上一点动点,将a=2x﹣6,b=2y代入x2+y2=1得到M(x,y)点的坐标所满足的方程,整理得点M的轨迹方程,使△(
为坐标原点)为直角三角形,讨论
分别为
的情况即可.
设M(x,y),P(a,b)
由B(6,0),M是AP的中点
故有a=2x﹣6,b=2y
又P为圆上一动点,
∴(2x﹣6)2+(2y-4)2=4,
整理得(x﹣3)2+=1.
故AP的中点M的轨迹方程是(x﹣3)2+=1.
△(
为坐标原点)为直角三角形,若
=
,以OA为直径的圆的方程为
,此时两圆圆心距为
,故两圆相交,故M有两个;若
=
,x=4与圆(x﹣3)2+
=1相切,这样的M点有一个;若
=
,这样的M点不存在,故使△
(
为坐标原点)为直角三角形的点
的个数为3个
故选:C.
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