题目内容

如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCDEPC的中点,作PB于点F

(I) 证明: PA∥平面EDB
(II) 证明:PB⊥平面EFD
(1)结合线面的判定定理,根据题意得到PA∥EO是解题的关键一步
(2)根据已知的线面垂直可知PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD,∴PD⊥DC
,同时可知同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.进而推理得到BC⊥平面PDC.结合判定定理得到证明。

试题分析:解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O,连接EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB,
所以,PA∥平面EDB
(2)证明:
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD,∴PD⊥DC
∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴DE⊥PC.①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC,∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC,∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.
点评:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力
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