题目内容
【题目】某城市要建造一个边长为的正方形市民休闲公园,将其中的区域开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点的坐标为,曲线是函数图像的一部分,过对边上一点的区域内作一次函数的图像,与线段交于点(点不与点重合),且线段与曲线有且只有一个公共点,四边形为绿化风景区.
(1)写出函数关系式;
(2)设点的横坐标为,将四边形的面积表示成关于的函数,并求的最大值.
【答案】(1);(2),.
【解析】
(1)根据函数y=ax2过点D,求出解析式y=2x2;由 消去y,利用△=0,求出m即可;
(2)①写出点P的坐标(t,2t2),代入直线MN的方程,用t表示出直线方程,利用直线方程求出M、N的坐标;
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S(t),利用基本不等式即可求出S的最大值.
(1)函数y=ax2过点D(1,2),
代入计算得a=2,
∴y=2x2;
由,消去y得2x2﹣kx﹣m=0,
由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,
得△=(﹣k)2+4×2×m=0,
解得m;
(2)设点P的横坐标为t,则0<t<1,
∴点P(t,2t2);
①直线MN的方程为y=kx+b,
即y=kx过点P,
∴kt2t2,
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0,解得x,
∴M(,0);
令y=2,解得x,
∴N(,2);
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为
S=S(t)=2×22×[()]=4﹣(t),其中0<t<1;
由t2,当且仅当t,即t时“=”成立,
所以S≤4;即S的最大值是4.
练习册系列答案
相关题目