题目内容

【题目】某城市要建造一个边长为的正方形市民休闲公园,将其中的区域开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点的坐标为,曲线是函数图像的一部分,过对边上一点的区域内作一次函数的图像,与线段交于点(点不与点重合),且线段与曲线有且只有一个公共点,四边形为绿化风景区.

1)写出函数关系式

2)设点的横坐标为,将四边形的面积表示成关于的函数,并求的最大值.

【答案】1;(2.

【解析】

1)根据函数yax2过点D,求出解析式y2x2;由 消去y,利用△=0,求出m即可;

2)①写出点P的坐标(t2t2),代入直线MN的方程,用t表示出直线方程,利用直线方程求出MN的坐标;

②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数St),利用基本不等式即可求出S的最大值.

1)函数yax2过点D12),

代入计算得a2

y2x2

,消去y2x2kxm0

由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P

得△=(﹣k2+4×2×m0

解得m

2)设点P的横坐标为t,则0t1

∴点Pt2t2);

①直线MN的方程为ykx+b

ykx过点P

kt2t2

解得k4t

y4tx2t2

y0,解得x

M0);

y2,解得x

N2);

②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为

SSt)=2×22×[]4﹣(t),其中0t1

t2,当且仅当t,即t成立,

所以S≤4;即S的最大值是4

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