Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=

7

，f（C）=0，若向量

m

=(1， sinA)与向量

n

=(3，sinB)共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角的余弦函数以及两角和与差的正弦函数，求出函数的最小值，求出函数的周期即可．
（2）通过向量的共线以及正弦定理求出a，b的关系，通过f（c）=0求出C的大小，结合余弦定理即可求解a，b的值．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1
=sin（2x-

π

6

）-1…（3分）
∴当2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z时，函数取得最小值：-2，
 最小正周期 T=π…（7分）
（2）因为向量

m

=(1， sinA)与向量

n

=(3，sinB)共线，所以sinB=3sinA，∴b=3a，
f（C）=0=sin（2C-

π

6

）-1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

即C=

π

3

．…（10分）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
解得a=1，b=3．…（14分）

点评：本题考查二倍角公式的应用，两角和的正弦函数，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．