Question

（2012•湖南）设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁，x₂，…，x_N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

N

2

和后

N

2

个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，
将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段

N

2

个数，并对每段作C变换，得到P₂，当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段

N

2i

个数，并对每段作C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置．
（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第

6

个位置；
（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第

3×2^n-4+11

个位置．

Answer 1

分析：（1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P₂列举出，从中查出x₇的位置即可；
（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P₄中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可确定出x₁₇₃位于P₄中的位置．

解答：解：（1）当N=16时，P₀=x₁x₂…x₁₆．由C变换的定义可得P₁=x₁x₃…x₁₅x₂x₄…x₁₆，
又将P₁分成两段，每段

N

2

个数，并对每段作C变换，得到P₂，故P₂=x₁x₅x₉x₁₃x₃x₇x₁₁x₁₅x₂x₆x₁₀x₁₄x₄x₈x₁₂x₁₆，由此知x₇位于P₂中的第6个位置；
（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P₄中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x₁₇₃位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2ⁿ（n≥8）故每段的数字有2^n-4个，以13为首项的是第四段，故x₁₇₃位于第3×2^n-4+11=3×2^n-4+11个位置．
故答案为3×2^n-4+11

点评：本题考查演绎推理及归纳推理，解题的关键是理解新定义，找出其规律，本题是探究型题，运算量大，极易出错，解题进要严谨认真，避免马虎出错