Question

7．如图，在四边形PABC中，PB⊥AC，AD=BD=1，AC=3，E是PC上一点，且PE：EC=1：2，现将△PAC沿AC进行翻折，得到如图②所示的三棱锥P-ABC．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：在翻折的过程中，总有平面PDB⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）由平行线分线段成比例定理得到DE∥PA，由此能证明DE∥平面PAB．
（2）由已知得PD⊥AC，BD⊥AC，从而得到AC⊥平面PBD，由此能证明在翻折的过程中，总有平面PDB⊥平面ABC．

解答 （1）证明：∵在四边形PABC中，PB⊥AC，AD=BD=1，AC=3，E是PC上一点，且PE：EC=1：2，
∴$\frac{CE}{PE}=\frac{CD}{AD}$=$\frac{2}{1}$，∴DE∥PA，
将△PAC沿AC进行翻折，得到如图②所示的三棱锥P-ABC后，
仍有DE∥PA，
∵DE?平面PAB，PA?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（2）证明：∵在四边形PABC中，PB⊥AC，
将△PAC沿AC进行翻折，得到如图②所示的三棱锥P-ABC，
∴PD⊥AC，BD⊥AC，又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面ABC，∴在翻折的过程中，总有平面PDB⊥平面ABC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．