题目内容

已知点C为y2=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点F为焦点，点A、B为抛物线上两个点，若
FA
+
FB
+2
FC
=
0，
则向量
FA
与
FB
的夹角为
2π
3
2π
3
．
分析：设出点A，B的坐标，利用点A、B是抛物线上的两个点，
FA
+
FB
+2
FC
=
0，
可求
FA
，
FB
的坐标，再利用向量的夹角公式，即可得出结论．
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴的交点C（-
p
2
，0），焦点F（
p
2
，0）
∵
FA
+
FB
+2
FC
=
0

∴（x1-
p
2
，y1）+（x2-
p
2
，y2）+（-2p，0）=（0，0）
∴x1+x2=3p，y1+y2=0
∵y12=2px1，y22=2px2，
∴y12+y22=2p（x1+x2）
∴y12=y22=3p2，x1=x2=
3
2
p
∴
FA
=（p，
3
p），
FB
=（p，-
3
p）
设向量
FA
，
FB
的夹角为α，则cosα=
FA
•
FB
|
FA
|•|
FB
|
=
p2-3p 2
4p2
=-
1
2

∵α∈[0，π]
∴α=
2π
3

故答案为：
2π
3
．
点评：本题考查抛物线的简单性质，向量知识的运用，考查向量的夹角公式，解题的关键是确定向量的坐标．
练习册系列答案
相关题目
已知点M是抛物线y2=2px（p＞0）位于第一象限部分上的一点，且点M与焦点F的距离|MF|=2p，则点M的坐标为（　　）
A、（
3p
2
，
3
p）
B、（
3p
2
，-
3
p）
C、（
3p
2
，±
3
p）
D、（
3
p，
3p
2
）
（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C1：y2=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 
（1）证明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C2过A、B两点，求曲线C1和C2的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C2的两焦点分别为F1、F2，线段AB上有两点C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F1 F2上是否存在一点P，使PD=
11
，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)，点C的轨迹与抛物线：y2=2px（p＞0）交于D、E两点．
（1）
OD
⊥OE
，求抛物线的方程；
（2）过动点（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p．
（i）求a的取值范围；
（ii）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．

已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l交C于E、F两点．

(1)求证：命题“若直线l过点A(2p，0)，则∠EOF＝90°(O为坐标原点)”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由；

(3)将点A(2p，0)向右或向左移动为点A(c，0)，直线l过点A交C于E、F两点．当c＞2p及0＜c＜2p时，分别猜测∠EOF大小的变化情况(只须写出结论，不必证明)．
已知点M是抛物线y2=2px（p＞0）位于第一象限部分上的一点，且点M与焦点F的距离|MF|=2p，则点M的坐标为（ ）
A．（，p）
B．（，p）
C．（，p）
D．（p，）

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