题目内容

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)
,点C的轨迹与抛物线:y2=2px(p>0)交于D、E两点.
(1)
OD
⊥OE
,求抛物线的方程;
(2)过动点(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.
(i)求a的取值范围;
(ii)若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q,求△QAB面积的最大值.
分析:(1)由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)
,知点C的轨迹是M,N两点所在的直线,故点C所在的轨迹方程是y=x-4.设D(x1,y1),E(x2,y2),则
OD
=(x1,y1),
OE
=(x2y2)
,由
y=x-4
y2=2px
,得(x-4)2=2px,由此能求出抛物线方程.
(2)(i)(1)设出直线的方程与抛物线方程联立消去y,设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A,B,进而根据判别是对大于0,及x1+x2的和x1x2的表达式,求得AB的长度的表达式,根据|AB|的范围确定a的范围
(2)设AB的垂直平分线交AB于点E,令坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式求得x3的坐标,进而求得EM的长度.根据△MNE为等腰直角三角形,求得EQ的长度,进而表示出△QAB的面积,根据|AB|范围确定三角形面积的最大值.
解答:解:(1)由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)
,知点C的轨迹是M,N两点所在的直线,
故点C所在的轨迹方程是
y+3
x-1
=
1+3
5-1
,即y=x-4.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则
OD
=(x1,y1),
OE
=(x2y2)

y=x-4
y2=2px
,得(x-4)2=2px,
∴x2-(2p+8)x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=2p+8,
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-8p,
OD
DE
,∴
OD
DE
=0

∴x1x2+y1y2=0,
∴16-8p=0,
∴p=2,
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)(i)直线l的方程为y=x-a
将y=x-a代入y2=2px,
得x2-2(a+p)x+a2=0.
设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),
4(a+p)2-4a2>0
x1+x2=2(a+p)
x1x2=a2

又y1=x1-a,y2=x2-a,
| AB |=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
4a2+16ap+8p2

∵0<|AB|≤2p,
∴0<4a2+16ap+8p2≤4p2
解得(-2-
3
)p≤a<(-2-
2
)p
(-2+
2
)p<a≤(-2+
3
)p

(ii)设AB的垂直平分线交AB于点E,令坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式,得x3=
x1+x2
2
=a+p
y3=
y1+y2
2
=
(x1-a)+(x2-a)
2
=p

∴|EM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2
又△MNE为等腰直角三角形,
∴|EQ|=|EM|=
2
p

S△QAB =
1
2
 |AB||EQ|
=
1
2
|AB|•|EQ|

=
2
2
p|AB|
2
2
p•2p
=
2
p2

即△QAB面积最大值为
2
p2
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网