题目内容
【题目】数列{an}定义为a1>0,a11=a,an+1=an+ an2 , n∈N*
(1)若a1= (a>0),求
+
+…+
的值;
(2)当a>0时,定义数列{bn},b1=ak(k≥12),bn+1=﹣1+ ,是否存在正整数i,j(i≤j),使得bi+bj=a+
a2+
﹣1.如果存在,求出一组(i,j),如果不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:∵ ,
∴ ,
∴ ,
故 ,
∴ ;
(2)解:由 得
,
两边平方得
故 ,
当b1=ak时,由 知
,
又 ,数列{an}递增,
故b2=ak﹣1,
类似地,b3=ak﹣2,…,bt=ak﹣t+1,
又 ,
,
,
bi+bj=a10+a12,
∴ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12,
存在正整数i,j(i≤j),k﹣i+1=12,k﹣j+1=10i=k﹣11,j=k﹣9,
存在一组(i,j)=(k﹣11,k﹣9).
【解析】(1)化简 可得
,从而利用裂项求和法求和.(2)易知
,从而可得
,而b1=ak , 故代入可推出b2=ak﹣1 , 从而类比可得b3=ak﹣2 , …,bt=ak﹣t+1 , 从而可得ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12 , 从而求得.
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