题目内容
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）2（n∈N*），求数列{an}的通项公式an和Sn．分析 Sn=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）2（n∈N*），取n=1时，可得a1=$（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1，化为（an+an-1）（an-an-1-2）=0，可得公差an-an-1=2．再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
解答 解：∵Sn=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）2（n∈N*），
∴取n=1时，可得a1=$（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，化为（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}是等差数列，∴an+an-1=0舍去，
∴an-an-1=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1，
Sn=$（\frac{2n-1+1}{2}）^{2}$=n2．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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