Question

若△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且a+c=1，则边b的取值范围是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：由题意可得B=

π

3

，A+C=

2π

3

，由余弦定理可得 b²=1-3ac，利用基本不等式求出b≥

1

2

，再由b＜a+c=1，求出边b的取值范围．

解答：解：若△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则有B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3ac．
∵a+c=1≥2

ac

，∴ac≤

1

4

．
∴b²=1-3ac≥

1

4

，即b≥

1

2

．
再由b＜a+c=1，可得 

1

2

≤b＜1，故边b的取值范围是 [

1

2

，1)，
故答案为 [

1

2

，1)．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，余弦定理、基本不等式的应用，解三角形，属于中档题．