Question

13．已知函数f（x）=mx-sinx-cosx，g（x）=（ax-1）cosx-2sinx（a＞0）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在（-∞，+∞）上是单调递减函数，求实数m的最大值；
（Ⅱ）若m=1，且对于任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导函数和原函数单调性关系转换成最值问题，进行求解即可；
（2）对式子 整理可得：x+sinx≥axcosx，分别讨论，转换成求函数最值：a≤$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$，
构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而利用极限的方法求出函数的最小极限值．

解答 解：（1）f（x）=mx-sinx-cosx，
∴f'（x）=m-cosx+sinx
=m+$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≤0恒成立，
∴m≤-$\sqrt{2}$，
∴实数m的最大值为-$\sqrt{2}$；
（2）m=1，
∴x+sinx≥axcosx，
当x=0，或x=$\frac{π}{2}$时，显然成立，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，
a≤$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$，
令h（x）=$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$，
$\frac{1}{cosx}$显然在此区间是增函数，令p（x）=$\frac{tanx}{x}$，
∴p'（x）=$\frac{x-\frac{1}{2}sin2x}{{x}^{2}co{s}^{2}x}$，令r（x）=x-$\frac{1}{2}$sin2x，
∴r'（x）=1-$\frac{1}{2}$cos2x＞0，
∴r（x）＞r（0）=0，
∴p'（x）＞0，
∴h（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上递增，
∴h（x）＞2，
故a的范围为a≤2．

点评 考查了函数求导和恒成立问题的转换，利用导函数判断函数的单调性，利用极限求极限值．