Question

18．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）．曲线C₂的极坐标方程化为 ρ=2cosθ+6sinθ．
（I）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标化为直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₁，C₂是否相交，若相交，请求出弦长，若不相交，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用代入法，可得曲线C₁的普通方程，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求得圆C₂的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，判断直线和圆相交，运用弦长公式计算即可得到弦长．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去t，可得y=x-1；
曲线C₂的极坐标方程化为 ρ=2cosθ+6sinθ，
即有ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，
即有x²+y²-2x-6y=0；
（Ⅱ）曲线C₂表示圆心为（1，3），半径为$\sqrt{10}$的圆，
由圆心到直线的距离d=$\frac{|1-1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{10}$，
则曲线C₁，C₂相交，
弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于中档题．