Question

【题目】如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；

（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.

（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）过作垂线，交点为，

画出图形，如图

平面

平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面

平面

又在等边中

即

由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，

为到的距离，

.