题目内容

【题目】已知四边形ABCD为边长等于的正方形，PA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

先找到异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，求出QC长，再由QC⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以四棱锥Q－ABCD的外接球与长宽高分别为、、的长方形的外接球相同，然后由长方体外接半径公式算出外接球的半径，从而求出表面积.

解：因为QC∥PA，所以异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，

因为四边形ABCD为边长等于的正方形

所以QC =

又因为PA⊥平面ABCD，QC∥PA，得QC⊥平面ABCD

所以四棱锥Q－ABCD的外接球与长宽高分别为、、的长方形的外接球相同

所以外接球的半径为

所以四棱锥Q－ABCD外接球的表面积

故选：C.

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