Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（3）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

（1）解：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，
∴三棱锥E-PAD的体积为。
（2）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行；
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC，
又EF平面PAC，而PC平面PAC，
∴EF∥平面PAC。
（3）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF平面PAB，
∴AF⊥BE，
又PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，
∴AF⊥平面PBE，
∵PE平面PBE，
∴AF⊥PE。