Question

【题目】已知圆，椭圆的短半轴长等于圆的半径，且过右焦点的直线与圆相切于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若动直线与圆相切，且与相交于两点，求点到弦的垂直平分线距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值为.

【解析】

（1）由条件知，，求出过右焦点的直线与圆相切于点直线方程，再利用点到直线的距离公式，可得出，从而，即可得椭圆的方程；

（2）设点到弦的垂直平分线的距离为，

①若直线轴，则弦的垂直平分线为轴，所以，若直线轴，则弦的垂直平分线为轴，所以．

②设，的中点坐标为，利用点差法求出，进而得出直线的方程为，再根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，得出，从而得出弦的垂直平分线方程为，最后再利用点到直线的距离公式，即可求出点到弦的垂直平分线的距离，结合运用基本不等式求出距离的最大值.

解：（1）由条件知，所以，

设椭圆右焦点坐标为，

则过该点与圆相切于点的直线方程为：

，

化简得：，

圆到直线的距离等于半径1，即，

解得:，从而 ，

所以椭圆C的方程为： .

（2）设点到弦的垂直平分线的距离为，

①若直线轴，则弦的垂直平分线为轴，所以，

若直线轴，则弦的垂直平分线为轴，所以．

②设，的中点坐标为，

由点在椭圆上，得

①-②得，，

即，

所以直线的方程为：，

化简得：.

因为直线与圆相切，所以，

化简得：，

又因为弦的垂直平分线方程为：，

即.

所以，点到弦的垂直平分线的距离为：

.

当且仅当时，取等号．

所以点到弦的垂直平分线的距离最大值为.