Question

（本小题满分13分）

已知数列{a_n}中，a₂＝p(p是不等于0的常数)，S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S_n＝.

(1)证明：数列{a_n}为等差数列；(2)记b_n＝＋，求数列{b_n}的前n项和T_n；

(3)记c_n＝T_n－2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有c_n∈(，3)，若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解析：(1)由S₁＝a₁＝＝0得a₁＝0，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－a_n－1，故(n－2)a_n＝(n－1)a_n－1，

故当n＞2时，a_n＝a_n－1＝··…····a₂＝(n－1)p，由于n＝2时a₂＝p，n＝1时a₁＝0，也适合该式，故对一切正整数n，a_n＝(n－1)p，a_n＋1－a_n＝p，由于p是常数，故数列{a_n}为等差数列．

(2)S_n＝＝，

b_n＝＋＝＋＝2＋2(－)，

∴T_n＝2n＋2(1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－)

＝2n＋2(1＋－－)

＝2n＋3－2(＋).

(3)c_n＝T_n－2n＝3－2(＋)＜3对所有正整数n都成立；

若c_n＞，即3－2(＋)＞⇒＋＜，记f(n)＝＋，则f(n)单调递减，又f(6)＝＋＞＋＝，f(7)＝＋＜＋＝，故只要取N＝6，则当n＞N时，f(n)＜.故存在正整数N，使得当n＞N时，恒有c_n∈(，3)．N可以取所有不小于6的正整数．

 

【解析】略