Question

（2003•海淀区一模）（1）一个等比数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜0；
（2）一个等差数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜0；
（3）一个等比数列{a_n}中，若存在自然数k，使a_k•a_k+1＜0，则对于任意n∈N，都有a_n•a_n+1＜0；
（4）一个等差数列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N），则对于任意n＞k，都有a_n＞0．
其中正确命题的序号是

（1）（3）（4）

．

Answer 1

分析：利用等比熟练和等差熟练的定义和公式，确定等比和公差的取值，然后分别进行判断．

解答：解：（1）在等比数列中，a_k+1=a_kq，若a_k＜0，a_k+1＜0，则q＞0，所以数列的每一项符号相同，即对于任意n∈N，都有a_n＜0，成立，所以（1）正确．
（2）在等差数列中，存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜0不一定成立，比如等差数列a_n=-2n+4，存在a₃＜0，a₄0，所以（2）错误．
（3）在等比数列中，存在自然数k，使a_k•a_k+1＜0，则ak?ak+1=(ak)2q＜0，则公比q＜0，所以对于任意n∈N，都有a_n•a_n+1＜0成立．所以（3）正确．
（4）在等差数列中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N），则得公差d＞0，即数列为递增数列，所以对于任意n＞k，都有a_n＞a_k＞0，成立．所以（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的定义和公式，利用通项公式是解决本题的关键．