题目内容

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线 $数学公式$ 上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）求证： $数学公式$ （n∈N^）；
（3）设 $数学公式$ ，对所有n∈N^，b_n＜log₈t恒成立，求实数t的取值范围．

（1）解：依题意，△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点），故有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（4分）
（2）证明：①当n=1时，可求得 $\text{[math]}$ ，命题成立； …（2分）
②假设当n=k时，命题成立，即有 $\text{[math]}$ ，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不合题意，舍去）
即当n=k+1时，命题成立． …（4分）
综上所述，对所有n∈N^*， $\text{[math]}$ ． …（1分）
（3）解： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（2分）
因为函数 $\text{[math]}$ 在区间[1，+∞）上单调递增，所以当n=1时，b_n最大为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．…（2分）
由题意，有 $\text{[math]}$ ，所以t＞2．
所以，t∈（2，+∞）． …（2分）
分析：（1）依题意，△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点），从而可得结论；
（2）利用数学归纳法证明，关键是第二步：当n=k+1时，由归纳假设及 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此可证；
（3）利用裂项法求出b_n，确定b_n最大值，即可求b_n＜log₈t恒成立时实数t的取值范围．
点评：本题考查数学归纳法，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．