如图.P1(x1.y1).P2(x2.y2).-.Pn(xn.yn)(0＜y1＜y2＜-＜yn) 是曲线C:y2=3x上的n个点.点Ai(ai.0)在x轴的正半轴上.且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)求a1.a2.a3的值,(2)求出点An(an.0)(n∈N+)的横坐标an和点An-1(an-1.0)(n＞0.n∈N+)横坐标an-1的关系式,的结论猜想an关于n� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N⁺）的横坐标a_n和点A_n-1（a_n-1，0）（n＞0，n∈N⁺）横坐标a_n-1的关系式；
（3）根据（1）的结论猜想a_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明．

分析：（1）利用已知条件直接求a₁、a₂、a₃的值；
（2）与（1）类似求出直线的方程，通过求出点A_n（a_n，0）（n∈N⁺）的横坐标a_n与点A_n-1（a_n-1，0）（n＞0，n∈N⁺）横坐标a_n-1即可得到(an-an-1)2=2(an-1+an)；
（3）根据（1）的结论猜想a_n关于n的表达式，直接利用数学归纳法证明步骤证明即可．

解答：

解：（1）依题意，OP₁直线方程为y=

x与曲线方程y²=3x联立
解得P₁点的横坐标为x₁=1，由中点坐标公式得a₁=2 …（2分）
同理：A₁P₂直线方程为y=

（x-2）代入y²=3x求得x₂=4 …（3分）
再由中点坐标公式得a₂=6，
A₂P₂直线方程为y=

（x-6）代入y²=3x求得x₃=9
再由中点坐标公式得a₃=12，…（4分）
（2）依题意，得xn=

an-1+an

①…（5分）
直线A_n-1P_n的方程为y=

（x-a_n-1）
P_n（x_n，y_n）坐标满足方程，则有y_n=

（x_n-a_n-1）②…（6分）
把①代入②式得 y_n=

（

an-1+an

-a_n-1）=

•

an-an-1

③（7分）
因为y_n²=3x_n ④…（8分）
把③式代入④得
(

•

an-an-1

)2=

(an+an-1)，
即(an-an-1)2=2(an-1+an)…（9分）
（3）由（Ⅰ）可猜想：a_n=n（n+1），n∈N⁺）．  （10分）
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假定当n=k时命题成立，即有a_k=k（k+1），…（11分）
则当n=k+1时，由归纳假设及
(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)]+ak+1，即
（a_k+1）²-2（k²+k+1）a_k+1+[k（k+1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得：a_k+1=（k+1）（k+2），（a_k+1=k（k-1），不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．                 …（13分）
由（1）、（2）知：命题成立．            …（14分）

点评：本题考查数列与解析几何相结合的问题，直线与抛物线的位置关系，数列的函数的特征，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．