Question

（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的极大值；

（Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；

（Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有

．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）极大值为．（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析。

【解析】（Ⅰ）

∴的增区间为，减区间为和．极大值为．

（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为．

∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而

（Ⅲ）设

则．

∴当时，，故在上是减函数，

又当、、、是正实数时，

∴．

由的单调性有：，

即．