题目内容
【题目】(本题满分15分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(
,
).
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(Ⅰ) 解:由题意可设椭圆方程为(a>b>0),
则故
所以,椭圆方程为. ……………………………5分
(Ⅱ) 解:由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得
(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则Δ=64k2b2-16(1+4k2b2)(b2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
且,
.
故 y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,
所以=
=k2,
即+m2=0,又m≠0,
所以k2=,即k=
.
由于直线OP,OQ的斜率存在,且Δ>0,得
0<m2<2 且m2≠1.
设d为点O到直线l的距离,
则S△OPQ=d |PQ |=
|x1-x2 | |m |=
,
所以S△OPQ的取值范围为 (0,1). ……………………………15分
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