题目内容
椭圆
的离心率为
，且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点，直线
与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值
【答案】
（1）
；（2）详见解析；（3）最小值为
【解析】
试题分析：（1）依题意有
，再加上
，解此方程组即可得
的值，从而得椭圆
的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用（1）所得椭圆方程，联立方程组
消去
得：
，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段
的中点为
同理可得线段
的中点为
，由于中点重合，所以
，解得：
或
(舍)这说明
和
都过原点即相交于原点
（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为
由方程组
易得点A的坐标（用
表示），从而得
（用表示）；同理可得
（由于
，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值
试题解析：（1）依题意有，又因为，所以得
故椭圆的方程为 3分
（2）依题意，点
满足
所以
是方程的两个根
得
所以线段的中点为
同理，所以线段的中点为 5分
因为四边形
是平行四边形，所以
解得，或(舍)
即平行四边形的对角线和相交于原点 7分
（3）点满足
所以是方程
的两个根，即
故
同理，
9分
又因为
，所以
，其中
从而菱形的面积
为
，
整理得
，其中 10分
故，当
或
时，菱形的面积最小，该最小值为 12分
考点：直线与圆锥曲线的位置关系
练习册系列答案
相关题目
，且过点（
，
）. 
：
（
）与椭圆E交于
、
两点，证明直线
与直线
的交点在垂直于
轴的定直线上，并求出该直线方程．
已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C（-1，0）且斜率为
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，试问在
轴上是否存在点
，使
是与
无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
的离心率为
，且过点
.
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，试问在
轴上是否存在点
，使
是与
无关的常数？若存在，求出点
的离心率为
，且过点（
），
与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线的方程.
的离心率为
，且过点
，
为其右焦点.
的方程； 
的直线
与椭圆相交于
、
两点（点
两点之间），若
与
的面积相等，试求直线