题目内容
【题目】已知函数,定义函数
,给出下列命题:①
;②函数
是奇函数;③当
时,若
,
,总有
成立,其中所有正确命题的序号是( )
A.②B.①②C.③D.②③
【答案】D
【解析】
①取,可得出当
时,
,从而可判断出命题①的正误;利用定义判断函数
的奇偶性,可判断出命题②的正误;判断出函数
在区间
上的单调性,并设
,由题意得出正数的绝对值较大,再结合函数
在区间
上的单调性可判断出命题③的正误.
对于命题①,取时,当
时,
,
当时,
,此时
,但
,则
,命题①错误;
对于命题②,函数的定义域为
,关于原点对称,
当时,
,
则;
当时,
,则
.
所以,函数为奇函数,命题②正确;
对于命题③,由②知,函数为奇函数,当
时,
在
上为减函数,
,设
,又
,则
,即
,
,即
,所以,
,命题③正确.
因此,正确命题的序号为②③.
故选:D.

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