题目内容
【题目】【2018河南濮阳市高三一模】已知函数,
.
(I)求函数的图象在点
处的切线方程;
(II)若存在,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(I);(II)
【解析】试题分析:(1)先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率为,最后根据点斜式求切线方程,(2)化简不等式并变量分离得
最大值,再利用导数研究函数
单调性,进而确定最值,得
的取值范围.
试题解析:(1)依题意, ,所以
,
所以,又
,
所以函数的图象在点
处的切线方程为
,
即.
(2)当时,
,即
,变形得
,
记,根据题意有
,
,
因为,所以
,所以
,又易知
,
所以.
设,则
,
设,则
.
当时,
,所以
,
所以在
上单调递增,所以
,
即,又因为
,
所以,从而
,
故,
在区间
上单调递减,
所以,
从而的取值范围是
.
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