Question

【题目】已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx，且定义域为（0，2）．
（1）求关于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个的解x1 ， x2 ， 求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=kx+3，∴|x2﹣1|+x2+kx=kx+3，即|x2﹣1|+x2=3．

若0＜x≤1，则|x2﹣1|+x2=1﹣x2+x2=1，此时方程无解．

若1＜x＜2，则|x2﹣1|+x2=2x2﹣1，原方程等价于：x2=2，此时该方程的解为x= ．

综上可知：方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解为x=

（2）解：当0＜x≤1时，f（x）=0kx=﹣1，①，当1＜x＜2时，f（x）=02x2+kx﹣1=0，②

若k=0则①无解，②的解为 ，故k=0不合题意．

若k≠0，则①的解为 ．

∵方程②的判别式△=k2+8＞0，∴方程②有两个不相等的根，不妨设为x1，x2，

则 ，∴x1＜0＜x2．

（i）若 ，即k≤﹣1，则1＜x2＜2，

设g（x）=2x2+kx﹣1，则 ，即

解得 ，又k≤﹣1，故 ．

（ii） 若 时，即﹣1＜k＜0或k＞0时，方程②在（1，2）须有两个不同解，与x1＜0＜x2矛盾，不合题意．

综上所述，

【解析】（1）对x的范围进行讨论去绝对值符号，再解方程；（2）对x的范围进行讨论去绝对值符号，得出两个方程，对两个方程的根的个数进行讨论，利用二次函数的性质得出不等式解出k的范围．