Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f(t))．

(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；

(2)若在t＝处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．

 

Answer 1

（1）S(t)＝（2）a＝，

【解析】(1)y′＝－2ax，∴切线斜率是－2at，

∴切线方程为y－(1－at2)＝－2at(x－t)．

令y＝0，得x＝，∴M，令x＝0，得y＝1＋at2，∴N(0，1＋at2)，

∴△OMN的面积S(t)＝.

(2)S′(t)＝，

由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.

当3at2－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；

当3at2－1<0，即0<t<时，S′(t)<0.

∴当t＝时，S(t)有最小值．

已知在t＝处，S(t)取得最小值，故有＝，

∴a＝.故当a＝，t＝时，S(t)min＝S＝＝.