Question

8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥$\frac{1}{8}$（$\frac{3}{t}$-t）恒成立，则实数t的取值范围是{t|t≥3或-1≤t＜0}．

Answer 1

分析 根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2]上的最小值即可得到结论．

解答 解：当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1∈[-1，0]，
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（1）=-1，
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2），
当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为f（-1）=$\frac{1}{2}$f（-1+2）=$\frac{1}{2}$f（1）=-$\frac{1}{2}$，
当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为f（-3）=$\frac{1}{2}$f（-3+2）=$\frac{1}{2}$f（-1）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
若x∈[-4，-2]时，f（x）≥$\frac{1}{8}$（$\frac{3}{t}$-t）恒成立，
∴$-\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{8}$（$\frac{3}{t}$-t）恒成立．
即t-$\frac{3}{t}$-2≥0，
即$\frac{{t}^{2}-2t-3}{t}≥0$，
则$\frac{（t-3）（t+1）}{t}$≥0
若t＞0，则（t+1）（t-3）≥0，
解得t≥3或x≤-1，即此时t≥3；
若t＜0，（t-3）（t+1）≤0，
即-1≤t≤3，即此时-1≤t＜0，
综上t≥3或-1≤t＜0，
故答案为：{t|t≥3或-1≤t＜0}

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．