Question

16．已知函数f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x），a∈R的图象关于原点对称．
（1）求a的值；
（2）判断并证明y=f（x）的单调性； 
（3）求f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数奇偶性的定义得出f（-x）+f（x）=0，再利用函数解析式即可求出a值；
（1）构造函数u（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，变形得出u（x）=$\frac{2}{1-x}$-1，根据单调性的定义判断得出任意实数x₁，x₂，∈（-1，1）且x₁＜x₂，u（x₁）＜u（x₂）利用复合函数单调性判断即可得出log₂u（x₁）＜log₂（x₂），f（x₁）＜f（x₂）．证明即可．
（3）把不等式转化为$\frac{1+x}{1-x}$＞1，求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
有log₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
化简得 （a+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0
∵log₂（1-x）+log₂（1+x）不恒为0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（$\frac{2}{1-x}$-1）
∵$\frac{1+x}{1-x}$＞0，-1＜x＜1，
∴设任意实数x₁，x₂，∈（-1，1）且x₁＜x₂
u（x₁）-u（x₂）=$\frac{2}{1-{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{1-{x}_{2}}$+1=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$
∵设任意实数x₁，x₂，∈（-1，1）且x₁＜x₂
∴1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
即可$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＜0，
∴u（x₁）＜u（x₂）
∵2＞1，
∴log₂u（x₁）＜log₂（x₂），
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴y=f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）＞0，
∴log₂$\frac{1+x}{1-x}$＞0，
根对数函数的单调性得出：$\frac{1+x}{1-x}$＞1，
即0＜x＜1，
∴f（x）＞0的解集为：（0，1）

点评 本题以对数型复合函数为例，考查了函数的单调性与值域，属于中档题．本题的综合性较强，在解题时作差判断，转化化归思路的适时恰当的运用．