Question

．（本题满分15分）已知，函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数解决不等式的恒成立e问题的运用。
（1）由于导数值表示的就是曲线在该点的斜率，那么利用点的坐标好斜率，得到切线方程的问题。
（2）要是不等式恒成立，则需要求解函数f(x)的最大值即可，因此需要对参数a进行分类讨论研究其最值。
解：（Ⅰ）当时，，（2分）
，，（4分）
又，曲线在点处的切线方程为：
，即：．（6分）
（Ⅱ）由得
①当时
，，∴在上递减，
∴，∴，此时不存在；（ 8分）
②当时
若时，由①得在上递减，
∴，此时（9分）
若时
令得，又在递增，故
∴，当时,∴在递增，（12分）
∴
，，∴，（13分）
又， ∴
综上知，实数的取值范围（15分）