Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=S_n+2，得S_n+1=2a_n+1-2，S_n+2=2a_n+2-2，两式相减即得数列是首项为2，公比为2的等比数列，计算即可；
（2）由（1）得b_n=n×2ⁿ，计算出T_n、2T_n，两式相减即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+2，n∈N^*，∴S_n=a_n+1-2，
即S_n+1=2a_n+1-2，∴S_n+2=2a_n+2-2，
两式相减，得a_n+2=2a_n+2-2a_n+1，即a_n+2=2a_n+1，
又∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=2+2=4，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以a_n=2ⁿ；
（2）设b_n=n•a_n，则b_n=n×2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减，得：T_n=-1×2-1×2²-1×2³-…-1×2^n-1-1×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
=n×2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）
=n×2ⁿ⁺¹-$\frac{2×（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2+（n-1）×2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．