Question

20．已知直线x-2y+2=0与圆C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y=x²的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN与圆C相切；
（3）若函数y=x²图象上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断线QR与圆C的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）求得圆心到直线的距离，由弦长公式，计算即可得到m=3，进而得到圆的方程；
（2）设过原点O的切线方程为y=kx，即kx-y=0，运用直线和圆相切的条件，求得k，由切线方程和抛物线方程联立，求得交点，即可得证；
（3）设P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），求得直线PQ，PR，QR的方程，运用直线和圆相切的条件，化简整理，再由韦达定理，可得b，c的关系，再由圆心到直线QR的距离，即可判断所求位置关系．

解答 （1）解：圆C：x²+y²-4y+m=0，可化为圆x²+（y-2）²=-m+4，
圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵截得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²=-m+4，
∴m=3，
∴圆C的方程为x²+（y-2）²=1；
（2）证明：设过原点O的切线方程为y=kx，即kx-y=0，
圆心到直线的距离$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=±$\sqrt{3}$，
∴设过原点O的切线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
与函数y=x²，联立可得x=±$\sqrt{3}$，∴y=3与圆C相切；
（3）解：设P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），可得k_PQ=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{b-a}$=a+b，
直线PQ的方程为y-a²=（a+b）（x-a），即为y=（a+b）x-ab，
同理可得，直线PR的方程为y=（a+c）x-ac，
直线QR的方程为y=（b+c）x-bc，
∵直线PQ和PR都与圆C相切，
∴$\frac{|2+ab|}{\sqrt{（a+b）^{2}+1}}$=1，$\frac{|2+ac|}{\sqrt{（a+c）^{2}+1}}$=1，即为b²（1-a²）-2ab+a²-3=0，
c²（1-a²）-2ac+a²-3=0，即有b，c为方程x²（1-a²）-2ax+a²-3=0的两根，
可得b+c=$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，bc=$\frac{{a}^{2}-3}{1-{a}^{2}}$，
由圆心到直线QR的距离为$\frac{|2+bc|}{\sqrt{1+（b+c）^{2}}}$=$\frac{|2+\frac{{a}^{2}-3}{1-{a}^{2}}|}{\sqrt{1+（\frac{2a}{1-{a}^{2}}）^{2}}}$=$\frac{|\frac{-1-{a}^{2}}{1-{a}^{2}}|}{|\frac{1+{a}^{2}}{1-{a}^{2}}|}$=1，
则直线QR与圆C相切．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交的弦长公式和相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．