Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=．
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，
cos∠BAC=，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×=16．
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁．

（2）连接BC₁交B₁C于M，则M为BC₁的中点，
连接DM，则DM∥AC₁，
∵DM?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
分析：（1）证明BC⊥AC，BC⊥CC₁，AC、CC₁是平面ACC₁A₁内的两条相交直线，即可证明BC⊥平面ACC₁A₁，从而证明BC⊥AC₁；
（2）D是AB的中点，连接BC₁交B₁C于M，连接DM，证明DM∥AC₁，即可证明AC₁∥平面CDB₁．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与直线的垂直，是基础题．