题目内容
【题目】设椭圆C: =1(a>b>0)过点(0,4),离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.
【答案】
(1)解:将点(0,4)代入椭圆C的方程得 =1,∴b=4,
由e= =
,得1﹣
=
,∴a=5,
∴椭圆C的方程为 =1
(2)解:过点(3,0)且斜率为 的直线为y=
(x﹣3),
设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y= (x﹣3)代入椭圆C方程,整理得x2﹣3x﹣8=0,
由韦达定理得x1+x2=3,
y1+y2= (x1﹣3)+
(x2﹣3)=
(x1+x2)﹣
=﹣
.
由中点坐标公式AB中点横坐标为 ,纵坐标为﹣
,
∴所截线段的中点坐标为( ,﹣
)
【解析】(1)椭圆C: =1(a>b>0)过点(0,4),可求b,利用离心率为
,求出a,即可得到椭圆C的方程;(2)过点(3,0)且斜率为
的直线为y=
(x﹣3),代入椭圆C方程,整理,利用韦达定理,确定线段的中点坐标.
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