Question

【题目】已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．

（1）讨论函数h（x）=的单调性；

（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） .

【解析】

试题分析：（1）的定义域为，，当时，，当时，可得，判断在上的符号情况，即得其单调区间；（2）如果对任意的，都有成立，则，可先求出，得到再上恒成立，构造函数，求出的最大值，即得求实数的取值范围．

试题解析：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，

①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增

②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），

h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，）．

（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），

由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1

所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，

记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，

当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；

当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；

故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，

所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．