题目内容

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为数学公式
(1)求棱A1A的长;
(2)若在线段BC1上存在点P,使直线A1P⊥C1D,求二面角D-A1P-B的大小.

解:(1)设A1A=h,则VABCD-A1C1D1==2×2×h-=
解得:h=4,即A1A的长为4.(4分)
(2)以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,4),B(2,2,0),C1(0,2,4)(6分)

若在线段BC1上存在点P(x,2,z)(0≤x≤2,0≤z≤4)使直线A1P⊥C1D
∵P、B、C1共线,∴,∴z=4-2x

由A1P⊥C1D得:(x-2,2,-2x)•(0,2,4)=0,解得:x= (8分)
此时点P的坐标为(,2,3),
设平面DA1P 的法向量为=(x,y,z),∴,∴
所以可取=((2,1,-1),
设平面BA1P的法向量为=(x′,y′,z′),∴,∴
所以可取=(2,2,1)(10分)
∴二面角D-A1P-B的余弦值为
∴二面角D-A1P-B的大小为(12分)
分析:(1)利用VABCD-A1C1D1=,建立方程,即可求得A1A的长;
(2)以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用A1P⊥C1D,求出点P的坐标,进而可求平面DA1P 的法向量=((2,1,-1),平面BA1P的法向量=(2,2,1),利用向量的夹角公式,即可求得二面角D-A1P-B的大小.
点评:本题考查几何体轭体积,空间角的计算等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力,同时考查学生灵活利用图形,借助向量工具解决问题的能力.
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