题目内容

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为 $数学公式$ ．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若在线段BC₁上存在点P，使直线A₁P⊥C₁D，求二面角D-A₁P-B的大小．

解：（1）设A₁A=h，则V_ABCD-A1C1D1= $\text{[math]}$ =2×2×h- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：h=4，即A₁A的长为4．（4分）
（2）以 $\text{[math]}$ 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A₁（2，0，4），B（2，2，0），C₁（0，2，4）（6分）
$\text{[math]}$
若在线段BC₁上存在点P（x，2，z）（0≤x≤2，0≤z≤4）使直线A₁P⊥C₁D
∵P、B、C₁共线，∴ $\text{[math]}$ ，∴z=4-2x
∴ $\text{[math]}$
由A₁P⊥C₁D得：（x-2，2，-2x）•（0，2，4）=0，解得：x= $\text{[math]}$ （8分）
此时点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，2，3），
设平面DA₁P 的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
所以可取 $\text{[math]}$ =（（2，1，-1），
设平面BA₁P的法向量为 $\text{[math]}$ =（x′，y′，z′），∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
所以可取 $\text{[math]}$ =（2，2，1）（10分）
∴二面角D-A₁P-B的余弦值为 $\text{[math]}$
∴二面角D-A₁P-B的大小为 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）利用V_ABCD-A1C1D1= $\text{[math]}$ ，建立方程，即可求得A₁A的长；
（2）以 $\text{[math]}$ 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用A₁P⊥C₁D，求出点P的坐标，进而可求平面DA₁P 的法向量 $\text{[math]}$ =（（2，1，-1），平面BA₁P的法向量 $\text{[math]}$ =（2，2，1），利用向量的夹角公式，即可求得二面角D-A₁P-B的大小．
点评：本题考查几何体轭体积，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力．