题目内容
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为
.
(1)求棱A1A的长;
(2)若在线段BC1上存在点P,使直线A1P⊥C1D,求二面角D-A1P-B的大小.




解得:h=4,即A1A的长为4.(4分)
(2)以


若在线段BC1上存在点P(x,2,z)(0≤x≤2,0≤z≤4)使直线A1P⊥C1D
∵P、B、C1共线,∴

∴

由A1P⊥C1D得:(x-2,2,-2x)•(0,2,4)=0,解得:x=

此时点P的坐标为(

设平面DA1P 的法向量为



所以可取

设平面BA1P的法向量为



所以可取

∴二面角D-A1P-B的余弦值为

∴二面角D-A1P-B的大小为

分析:(1)利用VABCD-A1C1D1=

(2)以



点评:本题考查几何体轭体积,空间角的计算等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力,同时考查学生灵活利用图形,借助向量工具解决问题的能力.

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