题目内容
设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,是否存在整数
,使不等式
恒成立?若存在,求整数
的值;若不存在,请说明理由;
(3)关于的方程
在
上恰有两个相异实根,求实数
的取值范围.
(1)函数的递增区间是
;减区间是
;
(2)存在整数,且当
时,不等式
在区间
上恒成立;
(3)实数的取值范围是
.
解析试题分析:(1)先求出函数的定义域,然后求出导数
,利用导数求出函数
的增区间与减区间;(2)利用参数分离法将问题转化为
与
在区间
上同时恒成立,求出
的取值范围,最终确定整数
的值;(3)构造新函数
,并利用导数确定函数
在区间
上的单调性,利用极值与端点值的将问题“关于
的方程
在
上恰有两个相异实根”进行等价转化,列出有关参数
的不等式组,从而求出参数
的取值范围.
试题解析:(1)由得函数
的定义域为
,
。 2分
由得
由
函数
的递增区间是
;减区间是
; 4分
(2)由(1)知,在
上递减,在
上递增;
5分
又且
时,
7分
不等式
恒成立,
即是整数,
存在整数
,使不等式
恒成立 9分
(3)由得
令则
由在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增 10分
方程
在[0,2]上恰有两个相异实根
函数
在
和
上各有一个零点,
实数m的取值范围是
14分
考点:1.函数的单调区间;2.函数不等式恒成立;3.函数的零点
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