题目内容
请先阅读:
设平面向量
=(a
1,a
2),
=(b
1,b
2),且
与
的夹角为θ,
因为
•
=|
||
|cosθ,
所以
•
≤|
||
|.
即
a1b1+a2b2≤×,
当且仅当θ=0时,等号成立.
(I)利用上述想法(或其他方法),结合空间向量,证明:对于任意a
1,a
2,a
3,b
1,b
2,b
3∈R,都有
(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(++)(++)成立;
(II)试求函数
y=++的最大值.
(I)证明:设空间向量
=(a
1,a
2,a
3),
=(b
1,b
2,b
3),且
与
的夹角为θ,
因为
•
=|
|•|
|cosθ,
所以
•
≤|
|•|
|,(3分)
即
a1b1+a2b2+a3b3≤•(6分)
所以
(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(++)(++),
当且仅当θ=0时,等号成立.(7分)
(II)设空间向量
=(1,1,1),
=(, , ),且
与
的夹角为θ,(9分)
因为
y=++=•,
所以
y=++≤•,
即
y≤•=3,(12分)
当且仅当θ=0(即
与
共线,且方向相同)时,等号成立.
所以当
==时,
即x=2时,函数
y=++有最大值
ymax=3.(14分)
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