题目内容
请先阅读：
设平面向量
=（a1，a2），
=（b1，b2），且
与
的夹角为θ，
因为
•
=|
||
|cosθ，
所以
•
≤|
||
|．
即a1b1+a2b2≤
×
，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
+
+
)(
+
+
)成立；
（II）试求函数y=
+
+
的最大值．
设平面向量
| a |
| b |
| a |
| b |
因为
| a |
| b |
| a |
| b |
所以
| a |
| b |
| a |
| b |
即a1b1+a2b2≤
|
|
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
| a | 2 1 |
| a | 2 2 |
| a | 2 3 |
| b | 2 1 |
| b | 2 2 |
| b | 2 3 |
（II）试求函数y=
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
分析：（I）利用
•
≤|
|•|
|，即可证明结论；
（II）构造空间向量
=（1，1，1），
=(
，
，
)，且
与
的夹角为θ，利用（I）的结论，即可得到结论．
| a |
| b |
| a |
| b |
（II）构造空间向量
| a |
| b |
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
| a |
| b |
解答：（I）证明：设空间向量
=（a1，a2，a3），
=（b1，b2，b3），且
与
的夹角为θ，
因为
•
=|
|•|
|cosθ，
所以
•
≤|
|•|
|，（3分）
即a1b1+a2b2+a3b3≤
•
（6分）
所以(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
+
+
)(
+
+
)，
当且仅当θ=0时，等号成立．（7分）
（II）解：设空间向量
=（1，1，1），
=(
，
，
)，且
与
的夹角为θ，（9分）
因为y=
+
+
=
•
，
所以y=
+
+
≤
•
，
即y≤
•
=3
，（12分）
当且仅当θ=0（即
与
共线，且方向相同）时，等号成立．
所以当
=
=
时，
即x=2时，函数y=
+
+
有最大值ymax=3
．（14分）
| a |
| b |
| a |
| b |
因为
| a |
| b |
| a |
| b |
所以
| a |
| b |
| a |
| b |
即a1b1+a2b2+a3b3≤
|
|
所以(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
| a | 2 1 |
| a | 2 2 |
| a | 2 3 |
| b | 2 1 |
| b | 2 2 |
| b | 2 3 |
当且仅当θ=0时，等号成立．（7分）
（II）解：设空间向量
| a |
| b |
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
| a |
| b |
因为y=
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
| a |
| b |
所以y=
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
| 12+12+12 |
| x+(2x-2)+(8-3x) |
即y≤
| 3 |
| 6 |
| 2 |
当且仅当θ=0（即
| a |
| b |
所以当
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
即x=2时，函数y=
| x |
| 2x-2 |
| 8-3x |
| 2 |
点评：本题考查向量的数量积公式，考查函数最大值的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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=（a1，a2），
=（b1，b2），且
与
≤|
||
，
成立；
的最大值．
=（a1，a2），
=（b1，b2），且
与
的夹角为θ，
•
=|
||
|cosθ，
•
≤|
||
|．
，
成立；
的最大值．